漸化式の極限×はさみうちの原理｜差がつく解き方のポイント

2026年8月28日

問題

数列 {a_n} が 0 < a₁ < 3、 a_n+1 = 1 + √1+a_n (n = 1, 2, 3, ⋯) を満たすとき

(1) 0 < a_n < 3 を証明せよ。

(2) 3 − a_n+1 < 13 (3 − a_n) を証明せよ。

(3) 数列 {a_n} の極限値を求めよ。

この記事では解答を示すだけでなく、各ステップを自分の言葉で説明できるかを1つずつ確認できる形にしています。

(1) 0<a_n<3 の証明

解答

n = 1 のとき、条件 0 < a₁ < 3 から成立する。

n = k のとき 0 < a_k < 3 が成り立つと仮定する。

[下限] a_k > 0 より √1+a_k > 1。よって a_k+1 = 1+√1+a_k > 2 > 0

[上限] a_k < 3 より √1+a_k < 2。よって a_k+1 = 1+√1+a_k < 1+2 = 3

以上より 0 < a_k+1 < 3 が成り立つ。よってすべての自然数 n について 0 < a_n < 3。

自分の言葉で説明できるか確認する（ステップごとの言語化）

a_n+1 と a_n の関係式（漸化式）が与えられ、かつ「証明せよ」と言われている。この組み合わせだけで、数学的帰納法を使うとほぼ確定してよい。 言語化：「漸化式＋証明せよ」を見たら反射的に帰納法、という結びつけができているか。
n = 1 のとき、条件 0 < a₁ < 3 から成立を確認する。
n = k で 0 < a_k < 3 を仮定し、n = k+1 のときを調べる方針を立てる。 言語化：帰納法の型どおり。ここまでは易しい。
示すべき 0 < a_k+1 < 3 を、作業に入る前に「0 < a_k+1」と「a_k+1 < 3」という2つの独立した命題として分けて扱う、と設計する。 言語化：ここが本質。a₁ の確認は簡単なので気が緩みやすいが、「範囲が保たれることを示す」を1つの作業だと思って一気にやってはいけない。下限を守る根拠と上限を守る根拠は別物だと、手を動かす前に自分に宣言できるか。
分けた片方（下限側）：仮定の a_k > 0 だけを使い、0 < a_k+1 を示す。 言語化：ステップ4で決めた分割方針を、片方だけ実行する作業。
分けたもう片方（上限側）：仮定の a_k < 3 だけを使い、a_k+1 < 3 を示す。 言語化：同上、もう片方の実行。
5・6をあわせて n = k+1 でも成立すると結論し、帰納法を締める。

この(1)だけで詰まる場合

上のステップ、特に4を説明しても定着しない場合、原因はこの問題固有のポイントではなく、数学Bの「数列」「数学的帰納法」、特に「不等式の証明における数学的帰納法」の土台そのものが入っていない可能性があります。その場合は、等式の証明での帰納法の型 → 不等式の証明特有の作法、の順に一段階戻って復習するのが近道です。

(2) 3−a_n+1 < (1/3)(3−a_n) の証明

解答

3 − a_n+1 = 3 − (1 + √1+a_n) = 2 − √1+a_n

2 + √1+a_n を分母・分子に掛けて有理化すると

2 − √1+a_n = 4 − (1+a_n)2 + √1+a_n = 3 − a_n2 + √1+a_n

(1)より a_n > 0 だから √1+a_n > 1、よって 2 + √1+a_n > 3。

分母が3より大きいので 3−a_n2+√1+a_n < 3−a_n3 = 13(3−a_n)

自分の言葉で説明できるか確認する（ステップごとの言語化）

漸化式 a_n+1 = 1 + √1+a_n が与えられている以上、これを使って変形する方針を立てる。
不等式証明の定番である「右辺−左辺 > 0」も選択肢として検討するが、a_n がルート付き・ルート無しで混在し式が複雑になるためあえて避け、左辺 3 − a_n+1 単独で目標の右辺と同じ形を作りにいく方針にする。 言語化：「なぜ普通の右辺−左辺をやらないのか」を先に自分で判断できるか。式の性質（√の有無の混在）を見て、力業を避ける判断がここでの決定打。
3 − a_n+1 = 2 − √1+a_n と代入・整理する。
√はなるべく早く消したいという発想から、有理化する方針を選ぶ。
2 + √1+a_n を掛けて有理化を実行する。
有理化の結果、分子に目標の右辺と全く同じ形（3 − a_n）が出てくると気づく。 言語化：狙って出したのではなく計算の結果として現れる。「これまでの知識（有理化）を使って式変形すると、目的の形に近づく」という数学一般の展開の実例。
残った分母 2 + √1+a_n の評価が必要だと認識する。
2 + √1+a_n > 3 が言えればよいが、(1)の結果に戻れるかどうかがここのポイントになる。(1)の下限側（a_n > 0）を使う。 言語化：この設問で一番重要な一歩。式の途中で「これは前の設問に戻れば片付く」と気づけるか。しかも(1)の下限側だけを使う点に注意（上限側は使わない）。
分母 > 3 から 3−a_n+1 < (1/3)(3−a_n) と結論する。

(3) 極限値を求める

解答

(2)の不等式を n−1 回反復適用すると

0 < 3−a_n < (13)ⁿ⁻¹ (3−a₁)

右辺は n→∞ で0に収束するので、はさみうちの原理から

lim_n→∞(3−a_n) = 0　∴　lim_n→∞a_n = 3

自分の言葉で説明できるか確認する（ステップごとの言語化）

(2)の不等式の形（a_n+1 < k・a_n 型、0 < k < 1）を見て、反復して等比に帰着するパターンだと結びつける。 言語化：理屈より先に、この形を見た瞬間に反応できるかどうか。知識として先に仕込んでおくべきパターン。
n−1 回反復適用し、0 < 3−a_n < (1/3)ⁿ⁻¹(3−a₁) を得る。 言語化：(1)の下限（3−a_n>0）が、下からの評価としてもここで効いている。
右辺が n→∞ で0に収束することを確認する。
はさみうちの原理を適用し lim_n→∞(3−a_n) = 0 を導く。
lim_n→∞a_n = 3 と結論づける。