「領域と最大・最小」についてポイントを解説します。
問題
x と y が、x ≧ 0、y ≧ 0、2x + y ≦ 6、x + 2y ≦ 4 の4つの条件を同時に満たすとき、x + y のとる値の最大値、最小値を求めよ。
問題で提示された領域を図示する
x と y は4つの不等式で縛られていて、自由には動けません。まず、その動ける範囲を図にします。
斜線部分（D）が、x と y が動ける範囲です。求めたい x + y の最大・最小は、この範囲の中で決まります。
求める式を「＝k」とおく
Point！
2変数（x、y）を同時に扱うのは大変。
だから、与えられた一次式を丸ごと k という1つの文字とおく。
この発想自体は他の分野にも効く汎用的な考え方ですが、領域の最大・最小の問題に限って言えば、毎回ゼロから考えるより「＝ k とおく」という手順ごとパターンとして覚えておくのが実戦的です。
今回の問題なら x + y = k です。y = −x + k と直すと、傾き −1・切片 k の直線になります。傾き −1 は定数として固定されていて、動くのは切片 k だけです。k の値を1つ決めるごとに、直線が1本決まる、ということです。
x + y = k と領域を照らし合わせ、切片が最大・最小になる場合を考える
傾き −1 の直線を何本か描いて、定規を動かすように領域 D へ重ねてみます。
- ・点線2本（k = −1、k = 5）は領域から外れているので、この値の k はとれない
- ・青の線（k = 2）は領域を通り抜けている。この値の k はとれる
- ・赤い線 2本（k = 0、k = 10/3）が、領域に触れていられるぎりぎりの位置
直線 x + y = k の切片は、そのまま k の値です。だから切片が一番大きい位置・一番小さい位置が、k の最大・最小にそのまま対応します。
傾きを −1 に保ったまま直線を動かし、領域から外れる直前の位置を探すと、線2本（k = 0 と k = 10/3）の位置で必ず頂点に当たります。
その交点の x、y を、与えられた一次式に代入する
「ここが端らしい」までは図で分かりますが、座標は目分量ではなく連立方程式で出します。最大を与える点 C は、2本の境界線の交点です。
最小は原点 (0, 0) を通るとき。k = 0 + 0 = 0 。
x + y の
最大値は 10/3 （x = 8/3、y = 2/3 のとき）
最小値は 0 （x = 0、y = 0 のとき）
