兵庫医科大学 医学部 一般選抜 数学の解説（2025年度）｜全15問の考え方

1. 知識
   $x > 0,\quad x \neq 1$
   真数は正でなければならないので、x > 0 と |x − 1| > 0 を先に出しておく。最後に共通部分をとるときに使う。
2. 差がつくポイント判断
   $\log_{4}|x – 1| = \frac{\log_{2}|x – 1|}{2}$
   底が4と2で違うことに気づき、底の変換公式で2にそろえる。底が違うままでは足すことも比べることもできない。ここがそろえば、残りは対数の計算と2次不等式だけになる。
3. 変形
   $\log_{2}16|x – 1| > \log_{2}x^{2}$
   両辺を2倍し、4 を log₂16 に、2log₂x を log₂x² に直して、両辺を1つの対数にまとめる。
4. 知識
   $16|x – 1| > x^{2}$
   底が1より大きいときは、対数の大小と真数の大小が一致する。だから不等号の向きを変えずに真数だけの比較に移せる。底が1より小さければ向きが逆になる。
5. 差がつくポイント判断
   $(i) x > 1\quad (ii) 0 < x < 1$
   絶対値を外すために2つの場合に分ける。x − 1 の符号で外し方が変わるので、1本の不等式を2本の作業に切り分ける。
6. 計算
   $x^{2} – 16x + 16 < 0,\quad x^{2} + 16x - 16 < 0$
   それぞれ2次不等式を解く。解の公式を使うだけで、値は 8 ± 4$\sqrt{3}$ と −8 ± 4$\sqrt{5}$。
7. 判断
   $4\sqrt{3} = \sqrt{48} < 7,\quad 4\sqrt{5} = \sqrt{80} < 9$
   出てきた境界が1より大きいか小さいかを確かめて、場合分けの条件との共通部分をとる。8 − 4$\sqrt{3}$ も 4$\sqrt{5}$ − 8 も1のすぐ近くにあるので、目分量では決まらない。ルートの中の整数どうしを比べれば暗算で済む。

1. 公式
   $y ′ = e^{ax}(a \sin bx + b \cos bx)$
   y は指数関数と三角関数の積なので、積の微分法で微分する。e^ax でくくっておくと、次の微分が楽になる。
2. 計算
   $y ″ = e^{ax}{(a^{2} – b^{2}) \sin bx + 2ab \cos bx}$
   もう一度微分する。ここで sin bx と cos bx について整理しておくのが要点で、あとの係数比較がそのまま使える形になる。
3. 差がつくポイント判断
   $a^{2} – b^{2} – 2a + 5 = 0,\quad 2b(a – 1) = 0$
   「方程式を満たす」をすべての x で成り立つ恒等式と読みかえ、sin bx と cos bx の係数をそれぞれ 0 とおく。x の値を1つ決めて解く問題ではない、と気づけるかどうか。ここが決まれば、あとは a と b の連立方程式になる。
4. 判断
   $b \neq 0\quad \to\quad a = 1$
   b で割るために b ≠ 0 を先に断る。b = 0 だと sin bx が 0 になり、掛け算なので y 全体が 0 になってしまう。そうなると与えられた関数の形を考える意味がなくなり、しかも a が何でも方程式が成り立ってしまって値が決まらない。だから題意からこの場合を除く。
5. 計算
   $1 – b^{2} – 2 + 5 = 0\quad \to\quad b = \pm2$
   a = 1 をもう一方の式に代入して b² = 4。b = 2 と b = −2 の両方が答えで、片方だけにしない。

1. 差がつくポイント判断
   丸20個 ＋ 仕切り2本 の並べ方
   方程式の問題を、同じもの20個を3つの組に分ける並べ方に置きかえる。丸を1列に並べて仕切りを2本入れると、仕切りで区切られた3つのかたまりの個数がそのまま3つの文字の値になる。この言いかえができれば、残りは組合せの計算だけ。
2. 公式
   ${}_{22}\mathrm{C}_{2}$
   丸と仕切りを合わせて22個。そのうち仕切りの位置2か所を選ぶ組合せなので ₂₂C₂。0が許されるので、仕切りが隣り合ってもよい。
3. 計算
   $22 \times 21 \div 2 = 231$
   約分して231。

1. 差がつくポイント判断
   3つの文字から1ずつ引く　→　和は 17
   「1以上」を「0以上」に移しかえる。あらかじめ各組に1個ずつ配ってしまえば、残りは0以上の問題になり、(a)で作った数え方がそのまま使える。新しい発想は要らない。
2. 計算
   ${}_{19}\mathrm{C}_{2} = 171$
   和が17なので丸17個と仕切り2本で19個。引くのは3つの文字それぞれから1ずつ、つまり合計3。和が1しか減らないと勘違いすると、この先の数がすべてずれる。

1. 差がつくポイント判断
   y = x − π/3 を代入して x だけの式にする
   変数が2つあっても、それらを結ぶ式が1本あれば片方を消せる。2変数のまま最大最小を考えようとすると手が止まる。条件式を見たら代入して1変数にする、が定石。
2. 差がつくポイント判断
   $\pi /3 \leqq x < \pi$
   消した y が持っていた条件をx の条件に書きかえて拾い直す。y の範囲から π/3 ≦ x が出てきて、もとの x の範囲と重なる部分だけが残る。ここを飛ばすと、実際には取れない x まで動かすことになる。
3. 公式
   $\sin^{2}x = \frac{1 – \cos2x}{2}$
   2乗のままでは合成できないので、半角の公式で次数を1に下げる。cos²y も同様に下げる。
4. 変形
   $f(x) = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(2x – \pi /3)$
   加法定理で cos(2x − 2π/3) をばらし、sin2x と cos2x の式に整理してから合成する。三角関数が1つになれば、最大最小は sin の値域だけで決まる。
5. 計算
   $\pi /3 \leqq 2x – \pi /3 < 5\pi /3$
   x の範囲を、合成後の角の範囲に直す。2倍して π/3 を引くだけ。
6. 判断
   π/2 と 3π/2 がともに範囲内
   sin が1になる角と −1 になる角が、どちらもこの範囲に入っているかを確かめる。入っていなければ端の値が最大最小になるので、確かめずに ±1 と書くことはできない。

解答1（座標）のステップ

1. 差がつくポイント判断
   A(0, 0),　B(10, 0),　正方形は y < 0 側、F は y > 0 側
   角度を追いかけるのではなく、AB を x 軸に載せて座標で処理すると決める。同時に「三角形は正方形の外側」という条件を、AB をはさんで反対側という形で座標に落とす。ここが決まれば、あとは代入計算だけで EF まで届く。
2. 公式
   $AB^{2} = 6^{2} + 8^{2},\quad AB = 10$
   三平方の定理で斜辺 AB を出す。AB は正方形の1辺でもあるので、ここで正方形の大きさが確定する。
3. 知識
   $E(5, -5)$
   正方形の対角線の交点は正方形の中心にあたるので、A と C の中点として座標が出る。
4. 計算
   $s = 18/5,\quad t = 24/5$
   F は A から6、B から8 の距離にある点。2つの式を辺々引くと t² が消えて s が先に決まる。t > 0 としたので符号は正。
5. 計算
   $EF^{2} = 98$
   2点間の距離の式に入れて EF = 7$\sqrt{2}$。

解答2（トレミーの定理）のステップ

1. 差がつくポイント判断
   $\angle AFB = \angle AEB = 90°$
   直角が2つあることに気づく。1つは問題で与えられた直角三角形、もう1つは正方形の対角線が直交することから出る。この2つを別々の事実として眺めるのではなく、同じ線分 AB を見込む角として並べる。
2. 差がつくポイント判断
   四角形 AFBE は円に内接する
   F と E は AB をはさんで反対側にあるので、四角形 AFBE の向かい合う角の和が 180° になる。これが、円に内接する四角形であることの条件そのもの。ここが言えて初めてトレミーの定理を使ってよいことになる。この一行を飛ばすと、以降の等式に根拠がなくなる。
3. 知識
   $AE = BE = 5\sqrt{2}$
   正方形の1辺が10なので対角線は 10$\sqrt{2}$。E はその中点なので、中心から頂点までは半分の 5$\sqrt{2}$。
4. 計算
   $10 FE = 6\cdot 5\sqrt{2} + 8\cdot 5\sqrt{2}$
   トレミーの定理は「対角線の積 = 向かい合う辺の積の和」。求めたい FE が対角線の側に来るよう、頂点を A → F → B → E の順に並べるのがこつ。EF = 7$\sqrt{2}$。

※ トレミーの定理は教科書では発展的な内容として扱われています。答案で使うときは、4点が同じ円周上にあることを必ず書き添えてください。

1. 知識
   食塩の量 = 食塩水の質量 × 濃度 ÷ 100
   濃度がパーセントで与えられているので、100で割ってから掛ける。
2. 計算
   $2a + 3b$
   2 と 3 という係数は、容器の200gと300gを100で割ったもの。この 2a + 3b という形が、このあと操作を何回繰り返しても変わらない量として効いてくる。最後の設問の答えにも顔を出す。

1. 差がつくポイント判断
   「A から B へ移す」→「B から A へ戻す」の2段階に分ける
   ひとつながりに見える操作を、2つの段階に切り分けて順に追う。段階ごとに「何gになったか」「食塩は何g入っているか」を書き出せば、あとは濃度の計算だけになる。まとめて処理しようとすると式が立たない。
2. 計算
   B は 400g、食塩は x_n−1 + 3y_n−1（g）
   移す100gに含まれる食塩は x_n−1（g）。もとの 3y_n−1 に足す。質量も 300 + 100 で400g。
3. 差がつくポイント判断
   100gを戻しても B の濃度は変わらない
   よくかき混ぜたあとなら、どこをすくっても濃度は同じ。だから B の濃度は移した直後に確定し、戻す操作では変わらない。ここに気づかないと、戻したあとの B を300gとして立て直そうとして食塩の量が合わなくなる。
4. 計算
   $x_{n} = \frac{x_{n-1} + y_{n}}{2}$
   A は同じ100gずつの混合なので、濃度はちょうど2つの平均になる。
5. 変形
   $x_{n} = \frac{5}{8}x_{n-1} + \frac{3}{8}y_{n-1}$
   x_n の式には y_n が入っているので、先に求めた y_n を代入して、1つ前の2つの濃度だけの式に直す。設問が求めている形に合わせる作業。
6. 判断
   $5/8 + 3/8 = 1,\quad 1/4 + 3/4 = 1$
   濃度は混ぜた液体の加重平均なので、係数の和は必ず1になる。計算が合っているかの検算に使える。

1. 差がつくポイント判断
   食塩の量の和 = 2x_n + 3y_n
   示したい「食塩の量の和」を、まず濃度の式として書き表す。最初の設問で使った換算を、n 回後にもそのまま当てはめればよい。この形さえ立てば、あとは代入して計算するだけになる。
2. 変形
   (2) の2式を代入する
   設問が「漸化式を使って示せ」と指定しているので、食塩の出入りがないから当然、という説明では答えにならない。指定された道具を実際に使う。
3. 計算
   係数は 5/4 + 3/4 = 2,　3/4 + 9/4 = 3
   x_n−1 と y_n−1 の係数を計算すると、ちょうど2と3に戻る。これが「変わらない」ことの中身。
4. 判断
   $2x_{n} + 3y_{n} = 2a + 3b$
   一定であることを示したら、その一定値まで書く。操作を始める前の値にさかのぼれば 2a + 3b。値を書かずに「一定である」で止めると、次の設問で使えない。

解答1（保存される量で1変数にする）のステップ

1. 差がつくポイント判断
   2x_n−1 + 3y_n−1 = 2a + 3b を使って y_n−1 を消す
   直前の設問で示した変わらない量を、道具として使う。2つの数列が絡み合った漸化式は、そのままでは解けない。片方を消せば、見慣れた1本の漸化式になる。証明問題が次の設問の準備になっている。
2. 変形
   $x_{n} = \frac{3}{8}x_{n-1} + \frac{2a + 3b}{8}$
   代入して整理すると、x_n−1 の定数倍に定数を足す形になる。a と b は最初に与えられた定数なので、文字が入っていても定数項として扱ってよい。
3. 差がつくポイント判断
   $\alpha = \frac{3}{8}\alpha + \frac{2a + 3b}{8}$
   この形を見たら、定数 α をずらして等比数列に直す。x_n と x_n−1 を同じ文字 α に置きかえた方程式を解けば、ずらす量が求まる。α が出れば残りは等比数列の公式。
4. 計算
   α = $\frac{2a + 3b}{5}$,　初項 $\frac{3(a – b)}{5}$
   α を求め、x₀ = a から初項 a − α を計算する。分母をそろえて整理すると 3(a − b)/5。
5. 判断
   y_n は 2x_n + 3y_n = 2a + 3b から出す
   y_n のために漸化式をもう一度解き直す必要はない。変わらない量にx_n を入れれば、そのまま y_n が求まる。
6. 判断
   n = 0 で a と b に戻る
   最初の値を入れて確かめる。指数が n か n − 1 かで迷ったときも、これで決まる。

解答2（和と差をとる）のステップ

1. 差がつくポイント判断
   $x_{n} – y_{n} = \frac{3}{8}(x_{n-1} – y_{n-1})$
   2つの式を辺々引くと、差だけの式になることに気づく。2つの濃度を別々に追うのをやめて、差という1つの数列に注目すると、それが等比数列になっている。
2. 公式
   $x_{n} – y_{n} = (a – b)(3/8)^{n}$
   公比 3/8、初項 x₀ − y₀ = a − b の等比数列として一般項を書く。
3. 差がつくポイント判断
   差の式と、2x_n + 3y_n = 2a + 3b を連立
   差が分かっても、それだけでは2つの濃度は決まらない。和にあたる式がもう1本要るが、それは直前の設問がすでに用意してくれている。2本そろえば連立方程式。
4. 計算
   $5x_{n} = (2a + 3b) + 3(a – b)(3/8)^{n}$
   連立を解いて x_n と y_n を取り出す。過程を書く指定があるので、どう足し引きしたかを1行残す。

1. 知識
   $0 < 3/8 < 1\quad \to\quad (3/8)^{n} \to 0$
   等比数列は、公比の絶対値が1より小さいとき0に近づく。1以上なら発散するので、公比の大きさを確かめてから使う。
2. 計算
   x_n、y_n ともに $\frac{2a + 3b}{5}$
   (3/8)ⁿ の付いた項が消え、残るのは定数項だけ。A と B で同じ値になる。
3. 判断
   全体500gに食塩 2a + 3b（g）
   答えの意味を確かめる。操作を繰り返すと2つの容器の濃度は等しくなるので、食塩が全体に均一に散った状態になるはず。その濃度を計算すると同じ値になり、答えの筋が通る。

1. 差がつくポイント判断
   一直線上に並ぶ　⟺　β/α が実数
   図形の条件を、複素数の割り算が実数になるという条件に置きかえる。複素数で割ることは、大きさを変えて回すこと。実数倍だけなら回転しないので、原点から見て同じ向き（または真逆）に並ぶ。
2. 知識
   z が実数　⟺　z = $\overline{z}$
   実数は虚部が0なので、共役をとっても自分自身のまま。これが「実数である」を式で書く方法。
3. 変形
   $\alpha \overline{\beta} = \overline{\alpha}\beta$
   分母を払って整理する。分母を払う前に α ≠ 0 を確かめておく。問題文に3点が相異なるとあるので、原点と A が別の点であることから言える。

1. 差がつくポイント判断
   $|\gamma | = |\gamma – \alpha | = |\gamma – \beta |$
   外心という言葉を、3頂点からの距離が等しいという式に戻す。複素数平面では、2点間の距離は差の絶対値。外心の性質を思い出せれば、そのまま3本の等式になる。ここが立てば、残りは連立方程式を解く作業。
2. 公式
   $|z|^{2} = z\overline{z}$
   絶対値が付いたままでは展開できないので、2乗して積の形に直す。複素数平面で距離を扱うときの基本の一手。
3. 差がつくポイント判断
   γ と $\overline{\gamma}$ を2つの未知数とみる
   共役複素数を、独立した別の文字として扱う。そうすると①②は2文字の連立1次方程式になり、片方を消すという見慣れた作業に変わる。実部と虚部の2つを未知数に置くのと同じことをしている。
4. 計算
   $(\overline{\alpha}\beta – \alpha \overline{\beta})\gamma = \alpha \beta (\overline{\alpha} – \overline{\beta})$
   係数をそろえて引き、$\overline{\gamma}$ を消す。① を β 倍、② を α 倍すると $\overline{\gamma}$ の係数がどちらも αβ になる。
5. 判断
   分母 $\overline{\alpha}$β − α$\overline{\beta}$ ≠ 0
   割るためには分母が0でないことが要る。この式は(1)で求めた同一直線上の条件そのもので、今回は一直線上にないと書かれているから0にならない。前の設問が、ここで割ってよい根拠になっている。

1. 差がつくポイント判断
   O、A、B は C を中心とする同じ円周上にある
   C が外心であることから、3点が1つの円の上に乗っていると見て、円周角と中心角の関係に持ち込む。直前の設問で求めた γ の式に数値を入れて計算しにいくと、分数と根号の混じった値を扱うことになる。円の性質を使えば γ を求めずに済む。
2. 計算
   $\angle AOB = \pi /3$
   α は正の実数なので偏角0。β の偏角は、虚部と実部の比から tan の値を読んで π/3。2つの偏角の差が ∠AOB。
3. 公式
   中心角 = 2 × 円周角
   円周角の定理。同じ弧を見込む角は、中心から見ると円周上から見たときの2倍になる。この2倍の関係そのものに例外はない。
4. 判断
   ∠AOB < π/2　かつ　向きは反時計回り
   答えの大きさと向きの両方を決める。∠AOB が鋭角なので中心角は π を超えず、指定された範囲に収まる。仮に ∠AOB が鈍角だと中心角が π を超えてしまい、指定の範囲に直すと符号が逆になる。向きは、β が α から反時計回り側にあることから正と決まる。

1. 差がつくポイント判断
   $\omega = \cos(\pi /4) + i \sin(\pi /4)$
   与えられた ω を極形式に読みかえて、回転を表す数だと見抜く。絶対値が1なので大きさを変えず、向きだけを π/4 変える。すると z_n は、A を出発して円周上を少しずつ回っていく点の列だと分かる。
2. 差がつくポイント判断
   $\beta – \gamma = (\alpha – \gamma )(\cos(2\pi /3) + i \sin(2\pi /3))$
   B も同じ円周上にあり、A から B までの回転角は直前の設問で求めた 2π/3。これで β も「中心から見て A を何度回したか」の形で書ける。両方を同じ形にそろえると、引いたときに中心 γ が消え、半径 α − γ が共通因数としてくくり出せる。
3. 差がつくポイント判断
   $|z_{n} – \beta | = 2R|\sin(n\pi /8 – \pi /3)|$
   距離を角度だけの式に書きかえる。同じ円周上の2点の距離は、2点が中心に張る角で決まる。半径 R は n によらない定数なので大小の比較には効かず、残った角の部分だけを見ればよくなる。9通りの複素数の引き算が、角の比較に変わる。
4. 計算
   135° との差15° < 90° との差30°
   45°の倍数を並べて、120°に最も近いものを探す。135°と90°だけ比べれば足りる。
5. 判断
   $\omega ^{8} = 1\quad \to\quad n = 8k + 3$
   π/4 ずつ回すと8回で1周するので、z_n は8個の点を繰り返す。設問が整数 n の範囲で聞いているので、n = 3 だけでは足りず、8ずつ離れた n もすべて答えになる。