兵庫医科大学 医学部 推薦入試の数学（2026年度）｜全10問の解説と差がつくポイント

1. 変形
   3sin A = 4sin B = 6sin C = k
   3つの式が等しいので、まとめて k とおく。「A = B = C」という形を見たら、共通の値に名前を付けるのが定石。
2. 差がつくポイント判断
   a : b : c = sin A : sin B : sin C
   sin の関係式を、正弦定理を使って辺の比に書きかえる。正弦定理は「辺の比 = 正弦の比」を保証している。角の情報しか与えられていないように見えても、辺の話に書きかえられると気づけるかどうか。ここが決まれば、あとは完全に作業になる。
3. 計算
   a : b : c = 13 : 14 : 16 = 4 : 3 : 2
   1/3 : 1/4 : 1/6 を整数の比に直す。分母の最小公倍数12を全部に掛けて 4 : 3 : 2。
4. 変形
   a = 4t,　b = 3t,　c = 2t
   比が分かっただけでは長さは決まらないので、a = 4t, b = 3t, c = 2t と文字でおく。
5. 差がつくポイント判断
   cos B = c² + a² − b²2ca
   sin B を直接求める公式がないことに気づき、先に cos B を出せばよい、と逆算する。辺の長さから角を求める公式は余弦定理で、それが与えてくれるのは cos。ゴール（sin）から必要なもの（cos）をたどる一手。
6. 計算
   cos B = 1116
   余弦定理に代入して cos B = 11/16。t が全部約分で消えるので、比だけ分かれば十分だったと確認できる。
7. 判断
   sin²B = 135256　→　sin B = 3√1516
   cos から sin に戻すとき、符号を決める根拠を書く。B は三角形の内角なので 0° < B < 180°、この範囲では sin は必ず正。だから正の平方根を選ぶ。

1. 差がつくポイント判断
   P_A(E) = 0.99,　P_A(E) = 0.01
   「検査の正確さ99%」という1つの文が、2つの条件を同時に決めていると読み取る。「病気の人が受けたら99%陽性」と「病気でない人が受けたら99%陰性」は別々の情報である。ここを1つと読むと、以降がすべて崩れる。
2. 差がつくポイント判断
   求めるのは P_E(A)（与えられたのは P_A(E)）
   聞かれているのは「陽性だった人のうち病気の人の割合」で、与えられているのは「病気の人のうち陽性になる割合」。条件と結論が入れ替わっていると気づく。ここがこの問題の正体。
3. 知識
   P_E(A) = P(A ∩ E)P(E)
   条件付き確率の定義を書く。「Eという条件のもとでAが起こる確率」は、P_E(A) =（AとEが両方起こる確率）÷（Eが起こる確率）。あとは分子と分母を別々に作るだけ。
4. 判断
   P(E) = P(A ∩ E) + P(A ∩ E)
   分母を作るために、陽性と出る人を2種類に分ける。病気で陽性（真陽性）と、病気でないのに陽性（偽陽性）。この2つで陽性の人を全部カバーでき、重なりもない。
5. 計算
   P(A ∩ E) = 0.00495,　P(A ∩ E) = 0.00995
   それぞれの人数の割合を掛け算で出す。真陽性は 0.005 × 0.99、偽陽性は 0.995 × 0.01。
6. 計算
   P_E(A) = 0.004950.0149 = 99298
   足して分母を作り、割り算して約分する。
7. 判断
   ≒ 0.332　→　約 33%
   答えが直感とかけ離れているので、意味を確かめる。偽陽性の人が真陽性の約2倍いるのがその理由。

1. 計算
   45 = 3² × 5,　2025 = 3⁴ × 5²
   45 と 2025 をそれぞれ素因数分解する。大きい数が出てきたら、まず素因数分解。ここに思いつきは要りません、手を動かすだけ。2025 ÷ 5 = 405、405 ÷ 5 = 81 = 3⁴ なので 2025 = 3⁴ × 5²。45 = 3² × 5。
2. 差がつくポイント判断
   2025 = (3² × 5)² = 45²
   2つの結果を並べて、指数がちょうど2倍になっていると気づく。45 = 3²×5 に対して 2025 = 3⁴×5²。つまり 2025 = 45²。
   いきなり「2025 = 45²」を思いつく必要はない。素因数分解という作業の結果として関係が見えてくる、という順番が大事。
3. 知識
   t = log₂₀₂₅6　⟺　2025^t = 6
   log₂₀₂₅6 を t とおいて、指数の形に書き直す。
   ここは丸暗記ではない。log₂₀₂₅6 という記号は2025を何乗したら6になるか、という指数そのものに付けた名前である。だから「t = log₂₀₂₅6」と「2025^t = 6」は、同じことを左右入れかえて書いただけ。新しい情報は何も増えていない。
4. 変形
   45^2t = 6
   2025 を 45² に書きかえて 45^2t = 6。指数の 2t は「45 を 2t 乗」なので、45^t を2乗したもの。
5. 判断
   45^t = √6
   求めたいのは 45^−t。マイナス乗は逆数なので、45^t さえ分かればいい、と逆算する。45^t を2乗すると6だから、45^t = √6。
6. 計算
   45^−t = √66
   逆数をとって有理化する。1/√6 の分母と分子に √6 を掛けて √6/6。

解答1（増減表）のステップ

1. 変形
   f(x) = x³ − 7x² + 8x + 16　（x ≧ 0）
   （左辺）−（右辺）を f(x) とおいて、「f(x) ≧ 0 を示す」問題に言いかえる。不等式の証明は、まず差を作って0と比べる形にするのが基本。
2. 公式
   f ′(x) = (3x − 2)(x − 4)
   微分して f ′(x) = (3x − 2)(x − 4) と因数分解する。
3. 差がつくポイント判断
   増減表は x = 0 から書く
   増減表を、x = 0 から書き始める。問題の条件が x ≧ 0 だから。全部の実数で書いてしまうと、f(x) が負になる部分（例：f(−2) = −36）まで表に入ってきて、x ≧ 0 での最小値の判定と混ざる。
4. 差がつくポイント判断
   最小値の候補は f(0) と f(4)
   最小値の候補が2つあると認識する。1つは極小値の f(4)、もう1つは区間の左端 f(0)。区間に端がある場合、端の値も最小値の候補になる。極小値だけを見ても、それが区間全体の最小値だとは確定しない。
5. 計算
   f(0) = 16,　f(4) = 0
   f(4) を計算すると、ちょうど 0 になる。ここが問題の仕掛け。
6. 変形
   f(x) ≧ 0
   最小値が 0 なので f(x) ≧ 0 と結論する。
7. 判断
   等号成立は x = 4
   等号が成り立つのは x = 4 のとき、と書いて完成。証明問題は等号条件まで書いて満点。

解答2（因数分解）のステップ

1. 変形
   f(x) = x³ − 7x² + 8x + 16
   差を作って f(x) とおくところは同じ。
2. 差がつくポイント判断
   微分ではなく因数分解を試す
   微分に走る前に、因数分解できないか探してみる。3次式を見たら増減表、と反射的に決めてしまわない。因数分解が通れば、答案の長さが半分以下になる。
3. 公式
   f(−1) = 0　→　x + 1 で割り切れる
   因数定理を使って、f(●) = 0 になる ● を探す。候補は定数項16の約数（±1, ±2, ±4, ±8, ±16）。順に代入すると f(−1) = 0 が見つかる。
4. 計算
   f(x) = (x + 1)(x² − 8x + 16)
   x + 1 で割って (x + 1)(x² − 8x + 16)。
5. 差がつくポイント判断
   f(x) = (x + 1)(x − 4)²
   残った x² − 8x + 16 が (x − 4)² という2乗の形だと見抜く。2乗になっていれば、中身が何であろうと0以上が確定する。ここで問題が終わる。これは解答1の「極小値がちょうど 0」と同じ事実の裏表。グラフが x 軸に接しているから、その点で値が 0 になり、式の上では2乗の形で現れる。
6. 判断
   x + 1 > 0,　(x − 4)² ≧ 0
   x ≧ 0 の条件のもとで、各因数の符号を確認して結論を書く。なお x ≧ 0 が効く場所は2つの解き方で違う。解答1では「左端 f(0) を最小値の候補に入れる」ために使い、解答2では「x + 1 > 0 を保証する」ためだけに使う。
7. 判断
   等号成立は x = 4
   等号条件 x = 4 を明記する。

1. 差がつくポイント判断
   5a_n+1 = 3S_n+1 + 3(n + 1) + 1
   式の中に a_n と S_n が混ざっているのを見て、どちらか片方に統一しないと進めない、と判断する。そのための手順が、n を n+1 にずらして辺々引くこと。S_n を含む式を見たらこれ、というトリガー。
2. 差がつくポイント判断
   n = 1 を代入　→　a₁ = 2
   引き算をする前に、n = 1 を代入して初項を確定させておく。引き算で得られるのは「隣り合う項の関係」だけで、初項の値はそこからは絶対に出てこない。作業の順序そのものが問われている場面。
3. 変形
   5a_n+1 − 5a_n = 3(S_n+1 − S_n) + 3
   n を n+1 に書きかえた式を作り、辺々引く。
4. 知識
   S_n+1 − S_n = a_n+1
   S_n+1 − S_n = a_n+1 を使う。和の定義そのものです（n+1個の和から n個の和を引けば、残るのは n+1 番目の項）。
5. 計算
   a_n+1 = 52a_n + 32
   整理して a_n+1 = (5/2)a_n + 3/2 という、隣り合う2項の関係式にする。
6. 公式
   α = 52α + 32　→　α = −1
   特性方程式 α = (5/2)α + 3/2 を解いて α = −1 を得る。これは、もし数列がずっと同じ値だったらその値は何か、を求めている式。
7. 変形
   a_n+1 + 1 = 52(a_n + 1)
   両辺から α を引く形にして a_n+1 + 1 = (5/2)(a_n + 1) と書き直す。こうすると {a_n + 1} がただの等比数列になる。
8. 計算
   a_n = 3(5/2)ⁿ⁻¹ − 1
   初項3・公比5/2として一般項を書き、最後に 1 を引いて戻す。
9. 判断
   n = 1, 2 を元の式に代入して検算
   n = 1, 2 を元の式に入れて検算する。引き算の操作は符号ミスが出やすいので、必ず確かめる。

(1) AG : GB を求める

1. 差がつくポイント判断
   D → E → F → G の順に作図する
   この問題は、まず図が描けるかどうかで決まる。D, E, F, G の4点は、前の点が決まらないと次が置けない鎖になっているので、問題文に書かれた順に1つずつ作っていくしかない。
   1. 三角形ABCを描く（AB の方が AC より長い、が唯一の条件）
   2. ∠A を二等分する線を引き、辺BCとの交点を D とする
   3. 辺CAの中点を E とする
   4. AD と BE を引き、その交点を F とする（← F は D と E が決まって初めて置ける）
   5. C と F を結んで延長し、辺ABとの交点を G とする（← G は F が決まって初めて置ける）
   この順序をたどれずに図が描けないと、チェバもメネラウスも知っていて手が出ません。
2. 公式
   BD : DC = AB : AC = 3 : 2
   ∠A の二等分線という条件を、比の情報に書きかえる。角の二等分線の性質から BD : DC = AB : AC = 3 : 2。
3. 変形
   CE : EA = 1 : 1
   CA の中点という条件も比に直す。CE : EA = 1 : 1。
4. 差がつくポイント判断
   AD, BE, CG は点 F で1点に会う
   図を見て、AD, BE, CG の3本が1点で交わっていると気づき、チェバの定理を持ち出す。問題文に「チェバ」とは一言も書いてありません。図が正しく描けていれば3本の共点は目に入りますが、描けていなければ気づきようがない。ステップ1と直結している。
5. 公式
   AGGB × BDDC × CEEA = 1
   チェバの式を、頂点を一周する順序で正しく書く。順序を間違えると比が逆さまになります。
6. 計算
   AG : GB = 2 : 3
   既知の2つの比を代入して (1) の答えを出す。

(2) AF : FD を求める

1. 差がつくポイント判断
   (2) はメネラウスに切りかえる
   (2) では、求めるものが1本の線分AD上での比なので、チェバではなくメネラウスに切りかえる。チェバは3本が1点に集まるときの定理、メネラウスは1本の直線が三角形を切るときの定理。この使い分けができないと手が止まる。
2. 差がつくポイント判断
   △ADC を直線 BFE で切る
   メネラウスはどの三角形をどの直線で切るかの選び方が全て。F を通ること、すでに分かっている比だけが出てくること——この2つから逆算すると、三角形ADC を直線BFEで切る、という組み合わせにたどり着く。
3. 変形
   DB : BC = 3 : 5
   BD : DC = 3 : 2 から DB : BC = 3 : 5 を作る。分母が DC から BC（全体）に変わることに注意。
4. 判断
   AF : FD = 5 : 3
   代入して (2) の答えを出したら、図と見比べて確かめる。AF : FD = 5 : 3 は AF の方が長いので、F は AD の中点より D 側にあるはず。図と合っていれば、比を逆さまに書いていないと確認できる。

(1) x⁴ + 1/x⁴ を a で表す

1. 判断
   x + 1x = a
   x + 1/x = a という形を見て、x と 1/x についての対称式が与えられた、と読む。
2. 差がつくポイント判断
   x × 1/x = 1　→　2乗の中央項が定数 2
   x と 1/x を掛けると 1 になることに気づく。だから (x + 1/x)² = x² + 2·x·(1/x) + 1/x² の真ん中が、ちょうど定数 2 になる。この一点がすべての土台で、積が1でなければこの技は成立しない。
3. 差がつくポイント判断
   x² + 1x² = a² − 2
   いきなり4乗を展開しようとせず、まず2乗を作る。2乗するたびに指数が2倍になるので、2乗を2回くり返せば4乗に届く。ゴールまでの道のりを段階に切り分ける判断。
4. 計算
   x⁴ + 1x⁴ = a⁴ − 4a² + 2
   (a² − 2)² − 2 を展開して (1) の答え。

(2) x⁶ + 1/x⁶ を a で表す

1. 差がつくポイント判断
   6 = 3 × 2　→　先に3乗を作る
   (2) は、4乗をさらに2乗しても8乗にしかならないので、(1) の結果をそのまま使う道では届かない。6 = 3 × 2 と見て、あらためて3乗を作りにいくと判断する。(1) があるから (2) でも (1) を使うはずだ、という思い込みを、いったん外す場面。
2. 公式
   x³ + 1x³ = a³ − 3a
   3乗の展開公式から x³ + 1/x³ = a³ − 3a を作る。(x + 1/x)³ を展開すると 3(x + 1/x) が余分に出るので、それを引く。
3. 計算
   x⁶ + 1x⁶ = a⁶ − 6a⁴ + 9a² − 2
   あとは2乗して 2 を引き、展開して整理する。

1. 差がつくポイント判断
   積分の中に x が入っている
   積分の中に x が入っていることに気づく。定積分はただの数だから、まるごと定数とおけばよい——という教科書の型が、そのままでは使えない形。まずここに気づかないと、全体を1つの定数とおいて矛盾する。
2. 知識
   ∫10(x + t)f(t)dt = x∫10f(t)dt + ∫10t·f(t)dt
   積分している変数が t であることを根拠に、x を積分の外へ出す。t で積分している間、x は動かない数として扱える。(x + t) を分配して2つの積分に分ける。
3. 差がつくポイント判断
   A = ∫10f(t)dt,　B = ∫10t·f(t)dt
   残った2つの定積分を、A と B の2つの定数でおく。教科書の標準問題は定数が1つで済みますが、この問題は (x + t) という形のせいで2つ必要になる。
4. 変形
   f(x) = x² + Ax + B　… ①
   すると f(x) = x² + Ax + B と、f が2次式だと確定する。A と B の値はまだ分かりませんが、形は決まりました。
5. 差がつくポイント判断
   ① を A, B の定義式に代入する
   いま求めた f を、A と B を定義した式に代入し直す。f を求めたいのに f が要る、というぐるぐる回りを、A と B についての連立方程式に書きかえて断ち切る。ここがこの問題の心臓部。
6. 計算
   A = 13 + A2 + B,　B = 14 + A3 + B2
   2本の定積分を実際に計算する。
7. 計算
   A = −5,　B = −176
   連立方程式を解いて A = −5、B = −17/6。
8. 判断
   ∫10f(t)dt が −5 になるか確かめる
   求めた f(x) を使って ∫10f(t)dt が本当に −5 になるか計算して確かめる。分数の連立は符号ミスが出やすいので、代入して検算するのが確実。

1. 判断
   sin θ + √3 cos θ
   sin と cos の足し算という形を見て、合成すると判断する。バラバラの2つを、1つの sin にまとめるのが合成。
2. 公式
   = 2 sin(θ + π/3)
   2sin(θ + π/3) に合成する。前の係数2は √(1² + (√3)²) から、中身の π/3 は「1 と √3 の比」から決まる。
3. 計算
   sin(θ + π/3) ≧ √22
   両辺を2で割って sin(θ + π/3) ≧ √2/2 の形にする。
4. 差がつくポイント判断
   u = θ + π/3　→　π3 ≦ u < 7π3
   u = θ + π/3 と書きかえるとき、u が動く範囲も一緒に π/3 だけずらす。θ が 0 から 2π 手前まで動くなら、u は π/3 から 7π/3 手前まで動く。ここを 0 ≦ u < 2π のままにしてしまうと、答えが合わない。
5. 判断
   π4 + 2nπ ≦ u ≦ 3π4 + 2nπ
   単位円をかいて、高さが √2/2 以上になる部分（水平線より上の弧）を読む。
6. 差がつくポイント判断
   π3 ≦ u ≦ 3π4　または　9π4 ≦ u < 7π3
   u の範囲が 2π 分あるので、答えの範囲が2か所に分かれると気づく。スタートの π/3 は π/4 を通り過ぎているので手前側が切れ、そのぶん後ろ側に新しい範囲が現れる。
7. 計算
   0 ≦ θ ≦ 5π12,　23π12 ≦ θ < 2π
   θ = u − π/3 に戻して、2つの範囲を書く。
8. 判断
   θ = 5π/12 のとき左辺 = √2
   端の値（θ = 5π/12 = 75°）を元の式に入れて、ちょうど √2 になるか確かめる。

1. 計算
   1, 2, 2, 3, 4, 4, 5 ｜ 6, 6, 7, 8, 9, 10, 10
   まず小さい順に並べかえる。5つの値すべてがここから決まるので、並べかえを飛ばすのが最大の事故のもと。数え落としがないよう、個数（14個）も必ず確認する。
2. 知識
   中央値 = (5 + 6) ÷ 2 = 5.5
   データが14個で偶数だと確認する。偶数のときの中央値は「真ん中の2つ（7番目と8番目）の平均」。
3. 差がつくポイント判断
   下位7個と上位7個に分ける
   中央値をはさんで、下位7個と上位7個にちょうど半分ずつ分ける。データが偶数個のときは全部が左右に分かれ、奇数個のときは真ん中の1個をどちらにも入れない。この分け方を取り違えると、第1・第3四分位数の両方がずれる。
4. 計算
   Q₁ = 3,　Q₃ = 8
   それぞれの半分（7個）の真ん中、つまり4番目の値を読む。下は3、上は8。
5. 判断
   五数要約　1, 3, 5.5, 8, 10
   5つの値を数直線上にかく。ひげの左端が最小値、箱の左端が第1四分位数、箱の中の線が中央値、箱の右端が第3四分位数、ひげの右端が最大値。
6. 判断
   5.5 は 5 と 6 のちょうど中間に引く
   目盛りと位置が合っているか見直す。中央値の5.5 は、5 と 6 のちょうど真ん中に線を引く。6 の位置に引くと、別のデータの箱ひげ図になってしまう。作図問題は、値が合っていても線の位置が雑だと減点される。